Analyse mathématique

Le test de primalité utilisé dans cette expérience est le test de Rabin-Miller, appliqué à des entiers de taille fixe (ici, 2048 bits), et générés selon une forme arithmétique particulière. Sur un total de \( 10000 \) candidats testés, on observe \( 31 \) entiers reconnus comme probablement premiers (niveau de certitude 1).

La densité théorique des entiers premiers autour de \( 2^{2048} \) est estimée par : \[ \frac{1}{\ln(2^{2048})} = \frac{1}{2048 \cdot \ln 2} \approx 0.0007044409 \] Ce qui donne une espérance d’environ \( 7.04 \) entiers premiers sur 10000 essais.

L’écart observé entre l’estimation théorique et le nombre effectif de candidats acceptés peut s’expliquer par plusieurs facteurs :

• La forme algébrique particulière des entiers testés, qui peut localement favoriser des densités plus élevées de nombres premiers.
• L'utilisation d’un test de primalité probabiliste (Rabin-Miller, classe = 1), qui accepte des pseudo-premiers avec une faible probabilité.
• Le fait que la fonction \(\pi(N)\) fournit une estimation globale du nombre de premiers ≤ N, mais ne décrit pas nécessairement les fluctuations locales.

Ce comportement est conforme à la théorie analytique des nombres. Il n’est pas en contradiction avec l’Hypothèse de Riemann, qui encadre l’écart entre \(\pi(N)\) et l’intégrale logarithmique \(\operatorname{Li}(N)\), mais s’intéresse à la distribution asymptotique globale des entiers premiers : \[ \pi(N) = \operatorname{Li}(N) + O\left(\sqrt{N} \ln N\right) \] sous l’Hypothèse de Riemann.

Ces résultats suggèrent qu’il est possible, sous certaines contraintes algébriques, de produire des entiers "probablement premiers" en plus grand nombre que la densité attendue dans une population non structurée.

Origine structurelle des candidats premiers

L'origine des expressions \( 3x - 2 \) et \( 3x - 1 \) ne relève pas du hasard. Elles proviennent d’une construction arithmético-géométrique fondée sur une table de multiplication virtuelle infinie, organisée autour de la formule :

\( N = pn + \frac{p(p + 1)}{2} = p\left(n + \frac{p + 1}{2}\right) = pq \)

Cette formule lie trois entiers naturels : \( p \), \( n \) et \( q = n + \frac{p + 1}{2} \). Elle définit un maillage d’entiers structurés dans une grille indexée par \( p \) (colonnes) et \( n \) (lignes). Pour \( n = 0 \), cette structure génère les nombres triangulaires : \[ T(p) = \frac{p(p + 1)}{2} \]

Parmi les entiers impairs représentés dans cette table, une attention particulière est portée aux carrés impairs. Ceux-ci se répartissent en deux groupes, notamment ceux de la forme : \[ \left(3(3 + 2n)\right)^2 = (9 + 6n)^2 \]

Entre deux carrés successifs de la forme \( (9 + 6n)^2 \) et \( (9 + 6(n + 1))^2 \), il existe toujours deux carrés impairs dont les racines sont de la forme \( 6k - 1 \) ou \( 6k + 1 \). Ces racines correspondent à des entiers de la forme \( p \pm 1 \), soit : \[ p - 1 = 6k - 1 \quad \text{ou} \quad p + 1 = 6k + 1 \]

Ces racines apparaissent dans les colonnes de la table définies par \( p = 2(3 + 2t) = 6 + 4t \), c’est-à-dire uniquement des colonnes paires. Ces colonnes présentent une divisibilité par 6 selon des conditions précises :

• Si \( k \equiv 0 \mod 3 \), alors \( p \) est divisible par 6 pour tout \( t \)
• Si \( 3 + 2t \equiv 0 \mod 3 \), alors \( p \) est divisible par 6 quel que soit \( k \)
• Si ni \( k \) ni \( 3 + 2t \) ne sont divisibles par 3, alors \( p \) n’est pas divisible par 6

L’algorithme exploite cette structure pour sélectionner efficacement les entiers de la forme \( p - 1 = 6k - 1 \) ou \( p + 1 = 6k + 1 \), puis les soumet au test de primalité probabiliste de Rabin-Miller. Cela permet d’extraire, parmi un sous-ensemble ordonné d'entiers impairs, ceux qui sont probablement premiers, tout en assurant une couverture exhaustive à mesure que \( x \) croît ou décroît.